Didaktische Pendel Simulation

Im Rahmen langjähriger Vorlesungstätigkeiten an der Technischen Universität Wien entstanden verschiedenste Ansätze den Unterricht mit technischen Hilfsmitteln zu unterstützen. Neben der Entwicklung von interaktiven Online-Tools im Bereich Mathematik und Modellbildung/Simulation wurden in Kooperation von TU Wien und dwh simulation services Vorzeigeexperimente für Vorlesungen und Veranstaltungen entwickelt.

Der im Folgenden beschriebene Aufbau eines klassischen Pendels dient dazu grundlegende Konzepte der Modellbildung und Simulation zu veranschaulichen:

  • Systemabstraktion und Modellvereinfachung
  • Physikalische Modellierung mit gewöhnlichen Differentialgleichungen
  • Echtzeit Implementierung Simulation (ODE-Solver) und Visualisierung
  • Validierung von Simulationsmodellen

Versuchsaufbau und -ablauf

Vor einem Bildschirm wird ein Pendel mit Metallkugel angebracht. Eine elektromagnetische Auslösevorrichtung seitlich des Bildschirms kann das Pendel in der Ausgangsposition festhalten und kontrolliert loslassen. Der Elektromagnet wird durch einen Raspberry Pi Minicomputer gesteuert. Auf dem Minicomputer läuft auch das Simulationsprogramm welches synchron zum Abschalten des Magneten gestartet wird und eine visuelle Animation des Pendels in Echtzeit auf dem Bildschirm darstellt.

Umsetzung mit Lego Bausteinen. Die Aufhängung des Pendels wird am Bildschirmrand fixiert.

Mit einer verstellbaren Auslösevorrichtung können beliebige Anfangsbedingungen (Auslenkung des Pendels) gewählt werden. Über Tastatureingabe kann die initiale Auslenkung des virtuellen Pendel an das Pendel vor dem Bildschirm angepasst werden.

Durch eine weitere Tastatureingabe wird der Versuch gestartet. Der Elektromagnet wird abgeschaltet und die Simulation sowie visuelle Ausgabe werden gestartet.

Nach einer gewissen Zeit sind Differenzen zwischen dem Pendel und der Simulation zu erkennen. Die Unterschiede können auf verschiedene Ursachen zurückgeführt werden und sind Teil der Präsentation des Experiments.

Mittels Konfigurationsdateien und einem Eingabemenü können die Parameter des Modells verändert werden. Das Pendel kann also interaktiv oder mit festgelegten Konfigurationen in unterschiedlichen Parametrisierung simuliert werden. Die Konfigurationsdateien müssen an die Abmessungen (Massen, Abstände, Reibungskoeffizienten) des Pendels angepasst sein.

Technische Umsetzung

Hardware

Der Aufbau erfordert grundlegende Kenntnisse über Elektrizität und das Löten von Stromkreisen. Folgende (oder ähnliche) elektronische Komponenten werden benötigt:

Warnung: Unsachgemäßes Arbeiten mit Elektrizität kann gefährlich sein!

  • Raspberry Pi 1 B
    • 32-bit ARMv6 Single Core 700 Mhz CPU
    • OpenGL-ES 2.0 compatible GPU
  • Schaltkreis
    • Transistor (TIP122)
    • Vorwiderstand 1kOhm
    • Diode (1n4007) 1kV 1A
    • Elektromagnet spezifiziert für 12V
  • Stromversorgung
    • 5V 1.5A und 12V 1.5A

Der Raspberry Pi Minicomputer verfügt über GPIO Ports (siehe Dokumentation) die zur Steuerung des Elektromagneten verwendet werden können. Außerdem kann der Minicomputer über GPIO anstatt Micro-USB mit Strom versorgt werden.

Warnung: Falsche Verwendung der Kontakte kann zu Beschädigungen am Gerät führen (siehe Dokumentation)!

Mögliche Auswahl von GPIO Ports am Raspberry Pi 1 B, die zur Verbindung mit dem Schaltkreis (siehe weiter unten) und der Stromversorgung verwendet werden können.

Über einen Transistor wird die Stromzufuhr zum Elektromagneten geregelt. Der Transistor wird durch ein elektrisches Signal von den GPIO Ports am Minicomputer gesteuert. Stromzufuhr zum Minicomputer, Signalverbindung zum Transistor und Stromzufuhr zum Elektromagneten können in einem einzigen Schaltkreis umgesetzt werden.

Schaltkreis und Schaltbild (ohne Stromversorgung für den Computer).

Software

Das Programm zur Steuerung und Simulation ist in C geschrieben. Der Programmcode ist unter der GPLv3 Lizenz verfügbar. Folgende Bibliotheken werden verwendet:

libxml2 Konfigurationsdateien
ncurses, cdk Konfigurationsmenü
OpenGL ES, EGL Raspberry Pi VideoCore APIs Visualisierung
GSL GSL – Ordinary Differential Equations ODE-Solver

Beim Start befindet sich das Programm im Konfigurationsmodus. Positionierung, Abmessung und Anfangswinkel des Pendels können über die Tastatur angepasst und gespeichert werden.

Nach dem Auslösen der Simulation (und gleichzeitiger Abschaltung des Magneten) wird abwechselnd die Pendelgleichung bis zu einem vorberechneten Zeitpunkt gelöst und die berechnete Auslenkung des Pendels am Bildschirm dargestellt (Echtzeitsimulation).

Wird die Simulation abgebrochen kehrt das Programm in den Konfigurationsmodus zurück.